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  • Généralités

    • Description 

      Semestre
: 6
      


      Unité
d’enseignement : Méthodologie
      


      Matière
: Géométrie différentielle
      


      Crédits
: 5
      


      Coefficient
: 2
      


      Objectifs
de l’enseignement
      


      L’étudiant
apprendra le calcul différentiel et le calcul intégral sur des objets abstraits
qui sont les variétés différentiables modélisant les espaces euclidiens réels.
      


      Connaissances
préalables recommandées : Analyse Réelle et Algèbre Linéaire
      


      Contenu
de la matière :
      


      Chapitre1
: Théorème d’inversion locale.
      


      • Applications
de classe Cr.
      


      • Difféomorphismes.
      


      • Théorème
des fonctions implicites.
      


      Chapitre2
: Théorème du rang.
      


      • 2.1 Le
rang.
      


      • 2.2
Théorème de submersion.
      


      • 2.3 Théorème
d’immersion.
      


      • 2.4
Théorème du rang constant
      


      Chapitre3
: Sous-Variétés de Rn.
      


      • 3.1 La
notion de sous variété.
      


      • 3.2 Espaces
tangents.
      


      • 3.3 Sous
variétés définies par des équations.
      


      • 3.4 Sous
variétés définies par un paramétrage.
      


      • 3.5 Le
lemme de Morse.
      


      • 3.6 Fibré
tangent à une sous variété de Rn.
      


      Chapitre4
: Orientations et variétés à bord.
      


      Chapitre5
: Formes différentielles et différentielle extérieure.
      


      • 5.1 Rappels
d’algèbre linéaire.
      


      • 5.2 Formes
multilinéaires alternées.
      


      o  
Produit
intérieur.
      


      o  
Produit
extérieur.
      


      • 5.3 Formes
différentielles.
      


      • 5.4
Différentielle extérieure. Existence et unicité.
      


      • 5.5 Formes
différentielles induites et Lemme de Poincaré.
      


      Chapitre
6 : Intégration des formes différentielles.
      


      • 6.1
Intégration sur Rn.
      


      • 6.2
Intégration sur une variété.
      


      • 6.3 La
formule de Stokes.
      


      • 6.4
Applications de la formule de Stokes.
      


      Divergence
et formule de Green-Ostrogradski
      


      Mode d’évaluation : Examen (60%), contrôle continu (40%)
      


      Références
      


      1.
Quatre-vingt-douze exercices classiques de géométrie différentielle pour la
maitrise de mathématiques. Michèle Audin.
      


      2. Cours de
Mathématiques, deuxième année, Jack Dixmier.
      


      3.
Introduction aux variétés différentiables, presse Université de Grenoble1996,
J.J la fontaine.
      


      4. Notes de cours de géométrie
différentielle, Claude Viterbo, 23-juin-2013
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