Cours : Méthodes numériques pour EDO et EDP

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Méthodes numériques pour EDO et EDP
Méthodes numériques pour EDO et EDP
Unité d’enseignement : Fondamentale

Matière : Méthodes numériques pour EDO et EDP. voir le lien suivant : https://www.academia.edu/34966901/M%C3%A9thodes_num%C3%A9riques_pour_les_%C3%A9quations_diff%C3%A9rentielles_partielles_pdf

Crédits : 9

Coefficient : 5

Objectifs de l’enseignement : Ce cours est une introduction succincte de certaines méthodes d’Analyse Numérique notamment la des différences finies utilisée dans la résolution des équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles.

Connaissances préalables recommandées : Algèbre Linéaire de Licence, E. D. O et E. D. P.

Contenu de la matière :

Partie1 : Méthode numérique pour EDO

Chapitre1 : Rappels sur les différents théorèmes d’existence, motivation

Chapitre2 : les différences finies

• Principe - ordre de précision

• Notation indicielle

• Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet

• Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann

Partie2 : Méthode numérique pour EDP

Chapitre3 : Méthode numérique pour EDP

• Les différences finies

• Schéma d'ordre supérieur

• Discrétisation de l'équation de la chaleur 1D

• Schéma explicite

• Schéma implicite

• Schéma Crank-Nicolson

• Discrétisation de l'équation de Laplace 2D stationnaire

Chapitre4 : Introduction aux éléments finis

Mode d’évaluation : Examen (60%) , contrôle continu (40%)

Références :

• P.G. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique et à l’optimisation, Masson 1982.

• Curtis F. Gerald, Patrick O. Wheatley, Applied Numerical Analysis. Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.

• Quarteroni A., Sacco R., and Saleri F. Numerical mathematics. Springer, 2000.

• J. Rappaz and M. Picasso. Introduction à l’analyse numérique. Presses Polytechniques et Universitaires, Romandes, Lausanne, 1998.

• P.A. Raviart and J.M. Thomas. Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles.
Méthodes d'Euler et de Runge-Kutta d'ordre 4 pour des équations différentielles du 1er ordre
Méthodes d'Euler et de Runge-Kutta d'ordre 4 pour des équations différentielles du 1er ordre
- Méthodes d'Euler et de Runge-Kutta d'ordre 4 pour des équations différentielles du 1er ordre Fichier
  En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707-1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles.
Série 1. Rappels sur Les équations de la physique Mathématiques
Série 1. Rappels sur Les équations de la physique Mathématiques
- Série 1. Rappels sur Les équations de la physique Mathématiques Fichier
Les différences finies
Les différences finies
- Les différences finies Fichier
  En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres.
  
  Cette méthode apparaît comme étant la plus simple à mettre en œuvre car elle procède en deux étapes : d'une part la discrétisation par différences finies des opérateurs de dérivation/différentiation, d'autre part la convergence du schéma numérique ainsi obtenu lorsque la distance entre les points diminue.
Série 2. Méthodes Numériques pour EDO
Série 2. Méthodes Numériques pour EDO
- Série 2. Méthodes Numériques pour EDO Fichier
Série 3. Méthodes Numériques pour EDP
Série 3. Méthodes Numériques pour EDP
- Série 3. Méthodes Numériques pour EDP Fichier
  John von Neumann (János Lajos Neumann) (ˈnojmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ, János Lajos Neumann en hongrois), né le 28 décembre 1903 à Budapest et mort le 8 février 1957 à Washington, est un mathématicien et physicien américano-hongrois. Il a apporté d'importantes contributions en mécanique quantique, en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences économiques et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques et de la physique. Il a de plus participé aux programmes militaires américains
TP N°1
TP N°1
- Méthode d'Euler, Heun's et Runge Kutta d'odre 4 Fichier
  MATLAB (« matrix laboratory ») est un langage de scriptémulé par un environnement de développement du même nom ; il est utilisé à des fins de calcul numérique. Développé par la société The MathWorks, MATLAB permet de manipuler des matrices, d'afficher des courbes et des données, de mettre en œuvre des algorithmes, de créer des interfaces utilisateurs, et peut s’interfacer avec d’autres langages comme le C, C++, Java, et Fortran.
  Les utilisateurs de MATLAB (environ 4 millions en 2019) sont de milieux très différents tels que l’ingénierie, les sciences et l’économie, dans un contexte aussi bien industriel que pour la recherche.
  Matlab peut s’utiliser seul ou bien avec des toolboxes (« boîte à outils »).
TP N°2
TP N°2
- TP N°2 : Heat and Wave equation Fichier
  * In mathematics and physics, the heat equation is a certain partial differential equation. Solutions of the heat equation are sometimes known as caloric functions. The theory of the heat equation was first developed by Joseph Fourier in 1822 for the purpose of modeling how a quantity such as heat diffuses through a given region.
  As the prototypical parabolic partial differential equation, the heat equation is among the most widely studied topics in pure mathematics, and its analysis is regarded as fundamental to the broader field of partial differential equations. The heat equation can also be considered on Riemannian manifolds, leading to many geometric applications. Following work of Subbaramiah Minakshisundaram and Åke Pleijel, the heat equation is closely related with spectral geometry. A seminal nonlinear variant of the heat equation was introduced to differential geometry by James Eells and Joseph Sampson in 1964, inspiring the introduction of the Ricci flow by Richard Hamilton in 1982 and culminating in the proof of the Poincaré conjecture by Grigori Perelman in 2003. Certain solutions of the heat equation known as heat kernels provide subtle information about the region on which they are defined, as exemplified through their application to the Atiyah–Singer index theorem.
  
  The heat equation, along with variants thereof, is also important in many fields of science and applied mathematics. In probability theory, the heat equation is connected with the study of random walks and Brownian motion via the Fokker–Planck equation. The Black–Scholes equation of financial mathematics is a small variant of the heat equation, and the Schrödinger equation of quantum mechanics can be regarded as a heat equation in imaginary time. In image analysis, the heat equation is sometimes used to resolve pixelation and to identify edges. Following Robert Richtmyer and John von Neumann's introduction of "artificial viscosity" methods, solutions of heat equations have been useful in the mathematical formulation of hydrodynamical shocks. Solutions of the heat equation have also been given much attention in the numerical analysis literature, beginning in the 1950s with work of Jim Douglas, D.W. Peaceman, and Henry Rachford Jr.
  * The wave equation is a second-order linear partial differential equation for the description of waves-as they occur in classical physics-such as mechanical waves (e.g. water waves, sound waves and seismic waves) or light waves. It arises in fields like acoustics, electromagnetics, and fluid dynamics.
  Historically, the problem of a vibrating string such as that of a musical instrument was studied by Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, and Joseph-Louis Lagrange. In 1746, d'Alembert discovered the one-dimensional wave equation, and within ten years Euler discovered the three-dimensional wave equation.
Exercices Corrigés
Exercices Corrigés
- Méthode des différences finies Fichier
Examen
Examen
- Examen Corrigé 2020 Fichier
Examen
Examen
- Examen Corrigé 2020 Fichier
Examen Corrigé 2021 - 2022
Examen Corrigé 2021 - 2022