Méthodes Numériques
Ce document propose aux étudiants de niveau
troisième année de Licence en mathématiques et première année de Master en
mathématiques appliquées, contient des cours détaillés. Il combine d'une façon indissociable l'étude des équations aux
dérivées partielles avec les méthodes numériques des éléments finis et des
différences finies. C'est un cours illustré par des exemples aléatoires et des
exercices se trouvent à la fin de ce polycopié avec plusieurs réponses possibles que des exercices à étapes et
utilisant des bases de données importantes.
1. Cours : Introduction à la méthode des éléments finis (MEF) ; voir le lien :
ou
2. Image associée
3. Réalisé par : Dr. REZZOUG Imad. CV (voir le lien : http://tele-ens.univ-oeb.dz/
moodle/blog/index.php?userid= ou http://www.univ-oeb.dz/fsesnv/615 wp-content/uploads/2021/10/ )Curriculum-Vitae-d%C3%A9taill% C3%A9.pdf 4. Objectifs Pédagogiques :
Cette matière permettra aux étudiants de compléter leurs connaissances sur les méthodes de l’analyse numériques.
- Comprendre pourquoi le monde s'oriente vers les mathématiques appliquées et surtout l'analyse numérique.
- Modélisation un phénomène physique ou ... par une équations différentielles aux dérivées ordinaires ou partielles.
- Étudiez le côté théorique de ce phénomène ou de ce problème pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution.
- Décrire ce phénomène ou problème en utilisant la méthode des éléments finis ou la méthode des différences finies.
- Décrire la solution approchée (faible) à ce phénomène ou problème.
- Décrire un algorithme pour cet problème.
- Décrire cet algorithme dans MATLAB.
- Etude la convergence et super convergence.
- Une tentative d'appliquer cette méthode à des problèmes complexes, en particulier l'écriture avec des équations aux dérivées partielles avec des dérivées fractionnaires.
5. Public-cible :
Les étudiants de 1ère année Master
Option : mathématiques appliquées
5. Les pré-requis :
- Avoir acquis la matière d’analyse numérique de la licence de mathématiques fondamentales.
- Modélisation, Simulation et Programmation en MATLAB.
6. Présentation du cours :
Ce document propose aux étudiants de niveau troisième année de Licence en mathématiques et première année de Master en mathématiques appliquées, contient des cours détaillés. Il combine d'une façon indissociable l'étude des équations aux dérivées partielles avec les méthodes numériques des éléments finis et des différences finies. C'est un cours illustré par des exemples aléatoires et des exercices se trouvent à la fin de ce polycopié avec plusieurs réponses possibles que des exercices à étapes et utilisant des bases de données importantes.
7. Plan du cours :
1. Notation.
2. Introduction.
3. Forme générale, exemple simple et propriétés importantes.
4. Notions de base d’analyse fonctionnelle.
5. L’équation de Poisson en dimension .
6. Approximation des problèmes elliptiques par éléments finis.
7. Exercices et examens corrigés.
8. Mode d’évaluation :
Examen (60%) , contrôle continu (40%)
9. Bibliographie.
[1] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle : Théorie et Applications (Masson, Paris). 1983.
[2] P. G. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique et à l’optimisation, Masson 1982.
[3] R. Eymard, T. Gallouét and R. Herbin, Finite Volume Methods, Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, pp. 713-1020. Edited by P. G. Ciarlet and J. L. Lions (North Holland). Version en ligne http://www.cmi.univ-mrs.fr/herbin/PUBLI/bookevol.pdf
[4] T. Gallouét and R. Herbin, Mesures, Intégration, Probabilités.
http ://www.cmi.univmrs.fr/ gallouet/licence.d/mes-int-pro.pdf
[5] R. Herbin, Analyse numérique. http://www.cmi.univ-mrs.fr/herbin/PUBLI/anamat.pdf
[6] J. RAPPAZ AND M. PICASSO, Introduction à l’analyse numérique. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1998.
[7] P. A. RAVIART AND JM THOMAS, Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles.
[8] Raphaèle Herbin, Université Aix Marseille 1, Master de mathématiques, Analyse numérique des équations aux dérivées partielles, 13 décembre 2012.
En analyse numérique, la méthode des éléments finis (MEF, ou FEM pour finite element method en anglais) est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.).
Concrètement, cela permet par exemple de calculer numériquement le comportement d'objets même très complexes, à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire : mouvement d'une corde secouée par l'un de ses bouts, comportement d'un fluide arrivant à grande vitesse sur un obstacle, déformation d'une structure métallique, etc.